A matematika összefoglalása

Természetesen egyáltalán nem lehet azt kijelenteni, hogy a tanulás során kizárólag a matematika lenne rendkívül fontos, hiszen a magyar nyelv és irodalom is ugyanolyan mértékben élvez elsőbbséget. A matematika igazából egy teljesen sajátos tudománynak tekinthető, különösen akkor, ha a módszereit és a tárgyát nézzük, ugyanis azokat a közös tulajdonságokat, absztrakt tulajdonságokat, struktúrákat és rendszereket vizsgálja, amelyek a tárgy saját fejlődéséből, valamint más tudományok általi vizsgálatból alakultak ki.

Ezek alapján szó lehet:

• felfedezett rendszerekről
• feltalált rendszerekről
• felfedezett struktúrákról
• feltalált struktúrákról

A régebbi meghatározás szerint a matematika a tér és a mennyiség tudománya volt, azaz a geometriai alakzatok és a számok tana. Az elmúlt évszázad elejétől azonban már úgy gondolták a szakemberek, hogy ez a tantárgy „a halmazelmélet absztrakt struktúráinak formális logikai szemlélettel és a javarészt erre épülő matematikai jelölésrendszerrel való vizsgálata”.

Napjainkra azonban már vitathatóak lettek az álláspontok, több didaktikai áramlat és tudományfilozófiai képviselő is túlhaladottnak tartja. A matematika meghatározása egyáltalán nem tűnik túl egyszerűnek, hiszen mostanában elég nagymértékben szokta vita tárgyát alkot a mibenlétének kérdése. Ez a tudomány élő, valamint nem lezárt problémája, amivel leginkább a matematikafilozófia tudománya szokott foglalkozni.

A matematikához tartozó fogalmak, módszerek és tevékenységek esetében vitákat nem igazán kiváltó, magas fokú egyetértés alakult ki, így sikeresen meg lehetett határozni, hogy mi az, amely a matematika köreibe tartozik, valamint, hogy mi nem tartozik bele. Ezzel szemben a tantárgy által vizsgált részletek ismeretelméleti megközelítéséről, lételméleti helyzetéről, valamint azok céljáról és jellegéről rendkívül sok elképzelés létezik, tulajdonképpen egymással párhuzamosan is.

Az természetesen vitathatatlan, hogy a magyar nyelv rendkívül fontos a diákok számára, azonban egy tanuló számára rendkívül fontos, hogy az elejétől kezdve tanulják meg a tananyag minden részletét, hiszen az alapok nélkül egyáltalán nem lehet megérteni a matematikát. Ugyanez igaz persze a nyelv és irodalom tananyag esetében is.

A matematika kialakulása

Ezen tudomány változásaival és kialakulásával, azaz az egész történetével a tudománytörténet egy ehhez szükséges ága foglalkozik, tehát a matematikatörténet.

A matematika szó görög eredetű, a tanulni (manthano) szóból jött létre, melynek származékai között említhető a:

• tudomány, tudás (máthema)
• tudásra vágyás (máthematikós)

A ta mathematika gondolattal felfogható dolgokat, megtanulandó és megtanulható dolgokat jelentett a preszókratikus filozófusok szerint, tehát mai kifejezéssel élve egyszerűen a tudományt jelentette. Ennek köszönhetően mindenféle elméleti ismeretet a matematika köreibe soroltak. Püthagorasztól kezdve azonban már leginkább csak tiszta mennyiségtant alkalmazott elméleti jelleggel, szemben az olyan mennyiségtani tudományokkal, mint az optika vagy éppen a csillagászat.

A leggyakoribb álláspontok szerint a matematika legalapvetőbb szabályai történelmileg a következő problémák megoldásából jöttek létre a legkorábbi ezzel foglalkozó iratok szerint:

• gazdasági problémák
• kereskedelmi problémák
• élelmezési problémák
• földterület-mérési problémák
• térfogat-mérési problémák
• űrmérték-mérési problémák
• gabonaszétosztási problémák

Leginkább az ókori keletre lehetett jellemző ez az állapot. Mások szerint azonban a matematika kapcsolatban állt a filozófiával, a vallással a korábbi időkben. Az ókorban tulajdonképpen már több olyan terület is ismert volt, amelyet manapság a matematika tananyag tartalmaz az általános iskolás diákok számára. Ide tartozott az algebrai egyenletekre irányuló gondolkodásmód, a pí értékéhez közelítés, a térfogatképletek, a területképletek, a geometriai idomok, a szorzás fogalma, valamint az összeadás fogalma. Természetesen nem volt jelen minden olyan részterület, mint amely manapság a diákok rendelkezésére áll minden tananyag esetében.

A görög civilizáció folyamatos felemelkedésének köszönhetően a matematika is hatalmas elméleti fejlődésnek örvendett, anélkül, hogy ez a gyakorlati alkalmazás rovására ment volna. A fejlődési folyamat Thalész geometria és a püthagoreusok számelméleti felfedezéseivel, valamint az elméleti területek kibontakozásával kezdődött el. Emellett az egyik legnagyobbnak tartott görög származású matematikus, Arkhimédész az egyik legfontosabb korai alak volt az alkalmazatott matematika tekintetében. A manapság úgy ismert irracionális számok felfedezésének köszönhetően nagy lökést kapott a geometria felfedezése, amely az Elemek tankönyvet eredményezte, melyet Eukleidész készített el. Ennek ellenére visszább szorult a tiszta algebra fejlődése ebben az időszakban.

A korszak híres és fontos eredményeket mutatott, amelyek azelőtt megoldhatatlannak bizonyultak:

• kúpszeletek felfedezése
• körnégyszögesítés
• kockakettőzés

Rendkívül fényes korszakként tartották számon ezt az időszakot, mely végét az jelentette, hogy a görögre rátelepedett a római civilizáció, akár erőszakos módszerekkel is, így az abban az időben meglévő művelt világ fölött át tudta venni az uralmat. A matematika esetében a mediterrán római civilizációt, valamint az utána következő kontinentális korai keresztény civilizációt a stagnálás, valamint a hanyatlás korszakának szokták tekinteni. Természetesen kivétel is előfordul, fontos szerephez jutott a logika a skolasztikus keresztény műveltségben. Ebben a korszakban az egyik legfontosabb lépés volt, hogy elkezdték felfedezni a negatív számokat, amelyek elismerése rendkívül sok vitába torkollott. Emellett ugyanennyi vitát váltott ki az arab számok írása a római számok helyett.

Amennyiben ugyanebben az időszakban keletre tekintünk, akkor már nem volt ennyire rossz a helyzet, ugyanis virágkorát élte a kínai, az indiai és az arab matematika is, de a görögökéhez nem igazán lehet hasonlítani se az új felfedezések tekintetében, se más téren. Az arabokat leginkább az algebra kezdte el érdekelni, amelyet magas szinten műveltek, amíg a görögök geometrizáltak.

Csak a reneszánsz idején sikerült újra elérni önálló és új eredményeket az európaiaknak, mely során fontos problémaként jelent meg a harmadfokú egyenletek megoldása, mely később komplex számok meghatározását eredményezte. Ebben a korszakban az ókori eredménye bizonyos részeit, valamint a teljes ókori kultúrát is újra felfedezték. A reneszánsz festők olyan tér-modellt hoztak létre a perspektíva vizsgálatával, valamint felfedezésével, amely alapot biztosított a projektív geometria kialakulásához a 19. században.

Ezek után lassan újra virágzásnak indult a matematika Európában a legújabb korig a következő ismert és fontos tudósok által:

• Carl Friedrich Gauss
• Leonhard Euler
• Isaac Newton
• Gottfried Wilhelm Leibniz
• Blaise Pascal
• René Descartes
• Pierre Fermat

Georg Cantor halmazelmélete hatalmas áttörést hozott a 19. században, amely a matematika arculatát tulajdonképpen alapjaiban változtatta meg, melynek köszönhetően a kutatás fő iránya újra a rendkívül elvont elmélet sík felé terelődött.

A 20. században azonban a következő, több évezredes és évszázados problémára sikerült megoldás találni:

• valószínűség fogalmának matematikai megalapozása
• Fermat-sejtés kérdése
• szögharmadolás
• körnégyszögesítés
• ókori kockakettőzés

A 20. században a matematika egyik leglényegesebb felfedezése mégsem ezek megoldása volt, hanem a számítástechnikai elméletek alapjainak létrehozása, amelyben Neumann János nagy szerepet vállalt. Ez több elemző véleménye alapján egy teljesen újfajta civilizációtípus kialakulásához vezetett, amely az információs társadalom nevet kapta.

Az emberiség létezése óta a matematika mindig sikeresen meg tudta találni a fontos alkalmazásait még tiszta formában, de sok alkalommal a fizikai és a természettudományos motivációnak és problémáknak is köszönni lehetett a legnagyobb felfedezéseket. A matematika jelentősége a 20. században különösen fontos lett a nyugati civilizációkban, így a mai oktatásban is érezhető a tananyag és a diákok körében is. A matematika tananyag az egyik legfontosabbá vált manapság az iskolások körében. Csökkenni látszik ugyan a hidegháború hatása ebben a tekintetben, hiszen az informatikai eszközök nagyon gyorsan fejlődnek, amely a hétköznapi életre is jelentős hatást tud gyakorolni. Ennek a fejlődésnek természetesen matematikai alapjai vannak, ezért a matematika fontossága, szerepe, oktatása és művelése rendkívül fontos napjainkban, tulajdonképpen az általános műveltség egyik alappillérének is tekinthető.

A matematika részterületei

Matematikai logika

Az általánosan vett kétértékű matematikai logika fő célja, hogy elemezze azokat a módszereket, amelyeket a matematikusok érveléseik és bizonyításaik során felhasználhatnak. A fő elemei között a modellelmélet, a bizonyításelmélet és a kijelentéslogika található meg. Ezt nem csupán a matematikánál alkalmazzák, hanem az informatikában is.

Halmazelmélet

Ez egy olyan alapelmélet az előbb említett részterülettel együtt véve, amely a matematika alapvető szemléletét, nyelvét, valamint keretét szolgáltatja. Tulajdonképpen valamilyen halmaznak és sokaságnak, osztálynak mondható bármely matematikai objektum. A speciális függvények közé a halmazrendszerek és az elemrendszerek tartoznak, a speciális relációkhoz a függvények, a speciális halmazokhoz pedig a relációk tartoznak.

Algebra

Elvont tanulmányozása a matematikai műveleteknek. Ágai között az univerzális, a lineáris, az absztrakt és a klasszikus algebra található meg.

Számelmélet

A számelmélet egy olyan tudományág a matematikán belül, amely tulajdonképpen az egész számok és a természetes számok oszthatósági részleteit tanulmányozta. Az egész számokat teljesen elemi eszközök segítségével is vizsgálni lehet, de a felsőbb matematikai eszköztár segítségével is. A számelmélet fogalmainak és problémáinak gyűrűkre történő kiterjesztéséhez az egész számok terén felmerülő kérdések vezettek.

Geometria

Olyan ág a matematikán belül, amely az térbeli összefüggések és törvényszerűségek leírásából jött létre, a fogalom görög származású, valójában földmérést jelentett. A fő ágai között a differenciálgeometria, az analitikus geometria, az ábrázoló geometria és a projektív geometria található meg.

Analízis és topológia

Kulcsfontosságú fogalom a matematika terén az analízis, az egyik fő részterület azok közül, amely alkalmazásközelinek tekinthető, valamint a mennyiségi változások miatt jött létre. A fő fogalmak között az integrál, a differenciálhányados és a mérték található meg.

Diszkrét vagy véges matematika

Ide olyan területek sorolhatók, amelyek művelése folytonos analitikus módszerek mellőzésével is megoldható, a véges vagy a nem folytonos struktúrák tanulmányozása is ide tartozik.

Valószínűségszámítás

Olyan jelenségekre összpontosít, amelyek sokszor megismétlődhetnek tetszőlegesen sok alkalommal, azonos körülmények mellett, azonban a kimenetelüket nem csak a rögzített lényeges tényezők befolyásolhatják, hanem sok másik is.

Számítógép-tudomány

A számítástudomány vagy más nevén számítógép-tudomány egy rendkívül fiatal tudományág a matematika terén. Az információt feldolgozó gépek működtetésének és tervezésének matematikai, azaz elméleti alapjaival foglalkozik. Nevezhető akár az algoritmusok általános elméletének is.

Operációkutatás

Az operációkutatás kategóriái közé a matematikai programozás, a vezérléselmélet, valamint a kibernetika tartozik.